Imaginar geometrías no euclídeas

Exposición sobre la geometría hiperbólica
En el instituto con el muy particular, noble e interesante fin de "figurar" : The institute for figuring

Teorema de Pitágoras

Demostraciones del Teorema de Pitágoras

Líneas

Apuntes del blog de Rodrigo Orrantia

Imperative de Zanussi

Es la película con protagonista matemático que hasta ahora más me ha interesado. No sé si fuera cosa del momento en que la ví, pero fue muy significativa.

Reseña en inglés
Reseña en italiano
Entrevista con Zanussi
Zanussi sobre Tarkovski

Relación entre arte y matemáticas: en la técnica

En cuanto a la técnica: las medidas de las proporciones tanto en pintura como en escultura y hoy en día instalaciones, en el video la medición del tiempo. En cuanto a las obras artísticas no considero relación alguna.

Saramiel Alvarez

El azar y la necesidad

Veo la relación donde hay exactitud y los elementos dejan de ser intuitivos, es decir donde no hay nada al azar ni accidental. Veo el arte en la matemática en los nuevos medios, en la algorítmica, la imagen digital; en donde ese desdoblamiento del artista y la expresividad se convierten en un gesto controlado y en el gesto deshinibido.

Felipe Vega

ruido de fondo

Para la clase ha resultado de un particular signficado el lugar del salón, más especialmente el ruido que no deja de acompañarnos. Dos trabajos de alguna manera tuvieron que ver con ese ruido "de fondo". Para mí uno de los temas cruciales a la hora de pensar en el continuo es la noción de "fondo", que resulta ser como el continuo fundamental donde se instalan las entidades. Uno de los encuentros recurrentes en arte y matemáticas tienen que ver con la naturaleza elusiva del fondo, con darse cuenta como todo aparente fondo está en otro fondo... y el fondo fondo se hace inaccesible. El lienzo que parece fondo continuo y que se revela textura y tejido y llega a rajarse con la navaja. Y también está, allí, en el borde, el marco. Y el marco del marco. Como al poner atención al fondo deja de ser fondo y se vuelve figuras. Pero hay figuras que saltan a la vista y otras que se esconden. Podemos pensar en lo que se escuchaba en la grabación que nos puso Carmen y cómo la voz establecía su protagonismo por encima de los demás ruidos. En el caso del trabajo de Saramiel el sonido que puso daba un ritmo a esa especie de baile que dibujaba y estaba siempre en el borde entre sugerir un espacio y señalar un protagonista.

"Standing still like that was a great exercise in hearing indigenous sound; suddenly something in the background would become foreground, something small would become something big, something assumed to be "nothing" would graduate to "something", a valuable commodity. What was amazing was to discover that mechanisms in one's own brain had been suppressing the roomtone, reading it as silence, when in fact it was quite loud: traffic, gulls, wind in the trees, air conditioning units, plumbing. Reframing it as "roomtone" gave it a new dignity; instead of "sound pollution" or "a reason to raise my voice", it became something valuable; the original and organic sonic occupier of a space."
Momus, Roomtone
Ver también, Hell is other people music, Ubiquity is the abyss

dos vías

La relación entre arte y matemáticas es una contradicción innegable y una dependencia necesaria. (...) La afirmación: “las cosas del mundo están en el tiempo y en el espacio” tiene sentido. Todo el sentido. Sin embargo no sabemos qué es el tiempo ni qué es el espacio, mucho menos qué son las cosas. (...) Las matemáticas y el arte son el mismo proceso, sólo que siempre a la inversa: abstracción, simbolismo, imaginación.... todas las propiedades que tiene un matemático las tiene un artista: la diferencia está entre ir de lo general a lo particular o de lo particular a lo general.

Ana María Montenegro

Sobre el cambio

"Hay un antes y un después y el cambio del uno al otro, siempre que es posible percibirlo, es súbito. Es un corte que desgarra y destruye. El tiempo es el culpable, pero si nos atenemos a sus reglas, a su continuidad imparable, somos incapaces de presenciar la magia de la transmutación, de dar fe del prodigio. Uno creería que la memoria sola puede, que uno es capaz de recordar el pasado tal y como era y diferenciar la cara de Liliana de ese entonces, cuando tenía dos años, de la de ahora, pero luego nota que la cabeza sólo guarda la información para reconocerla sin dar cuenta real de los cambios sufridos. Claro, es más pequeña, tiene el pelo distinto, pero es exactamente la misma que la que recuerdo el domingo pasado, cuando vino a almorzar, y así será siempre allá adentro. La memoria no ayuda, la memoria guarda los rostros despojándolos de una edad, arrancándolos del tiempo. Los científicos han intentado implementar ese proceso dentro de computadores con algún éxito."

Comienzo de la reflexión de Javier Moreno en su blog sobre el cambio.

Una fábula

Un matemático —aunque nadie puede ser solamente un matemático—, se molestaba bastante ante el disparate que le planteaban las exposiciones de arte de vanguardia. Con nostalgia añoraba las épocas en que las operaciones artísticas se limitaban a ecuaciones estables que utilizaban los factores lienzo y óleo para la pintura y mármol para la escultura (el dibujo lo asumía como un boceto preparatorio de menor valor). No aceptaba el arte que veía ahora, no lo quería aceptar; quería ver de vuelta la pintura de un paisaje o el sólido virtuosismo de la mano que hace emerger otra mano de la piedra.
Un día —aunque no se vive solamente un día— el matemático entró a una de esas galerías donde exponían el tipo de arte que él rechazaba, lo hizo más forzado por el tedio que por la convicción, no lo animaba ser un espectador, ir a ver ese arte experimental era para él como cazar una apuesta en la que sabía de antemano que la estadística señalaba que todos los factores estaban en su contra. Sobre las paredes blancas de la galería encontró unos lienzos blancos donde aparecían dibujadas, con una tipografía sencilla, operaciones matemáticas. En el primer cuadro se representaba un sólo número; en el segundo la suma de dos números; en el tercero una resta; en el cuarto una multiplicación; en el quinto una división; en el sexto una suma compleja; en el séptimo la potenciación de los números. En el octavo se planteaba la suma de los números binarios; en el noveno la regla de tres; y así paulatinamente, las operaciones se iban volviendo más complejas, haciendo que el matemático se demorara cada vez más para poder descifrar el género de los enunciados que cuadro a cuadro se cifraban. Al salir de la galería, sintió cierto agrado: por su condición de matemático lo había entendido todo. Además, no sin orgullo, formuló una crítica a la exposición, pues en la muestra brillaban por su ausencia las paradojas matemáticas, su género favorito, “seguro se debe a la ignorancia del artista que pintó los cuadros, es un amateur” pensó. Pero aun así, la experiencia en la exposición fue de su agrado, su mente, visitante frecuente del abismo de los números, no se había limitado a apreciar las operaciones básicas y había podido interpretar las construcciones más complejas y formular posibles especulaciones. Con respecto al contexto, lo tenía sin cuidado haber visto todo esos símbolos matemáticos en una galería, lo que él había visto era matemática, no arte, y su posición intransigente con respecto al arte no tradicional seguía siendo inquebrantable, “la excepción confirma la regla” alcanzó a pensar. Nunca más volvió por esa galería.
La mayoría de la gente sabe sumar, restar, dividir o multiplicar, pero sólo a unos pocos les es dado adentrarse en las relaciones que plantean los números; así mismo, los artistas para poder expresar sus pensamientos se ven abocados a inmensas complejidades que no cualquiera entendería. Hay paradojas matemáticas y cuadros pintados en blanco sobre blanco.

Fábulas
Francois Bucher
Lucas Ospina
(1999)

La esfera de Pascal - Borges

Quizá la historia universal es la historia de unas cuantas metáforas. Bosquejar un capítulo de esa historia es el fin de esta nota.

Seis siglos antes de la era cristiana, el rapsoda Jenófanes de Colofón, harto de los versos homéricos que recitaba de ciudad en ciudad, fustigó a los poetas que atribuyeron rasgos antropomórficos a los dioses y propuso a los griegos un solo Dios, que era una esfera eterna. En el Timeo, de Platón, se lee que la esfera es la figura más perfecta y más uniforme, porque todos los puntos de la superficie equidistan del centro; Olof Gigon (Ursprung der griechischen Philosophie, 183) entiende que Jenófanes habló analógicamente; el Dios era esferoide, porque esa forma es la mejor, o la menos mala, para representar la divinidad. Parménides, cuarenta años después, repitió la imagen ("el Ser es semejante a la masa de una esfera bien redondeada, cuya fuerza es constante desde el centro en cualquier dirección"); Calogero y Mondolfo razonan que intuyó una esfera infinita, o infinitamente creciente, y que las palabras que acabo de transcribir tienen un sentido dinámico (Albertelli: Gli Eleati, 148). Parménides enseñó en Italia; a pocos años de su muerte, el siciliano Empédocles de Agrigento urdió una laboriosa cosmogonía; hay una etapa en que las partículas de tierra, de agua, de aire y de fuego, integran una esfera sin fin, "el Sphairos redondo, que exulta en su soledad circular".

La historia universal continuó su curso, los dioses demasiado humanos que Jenófanes atacó fueron rebajados a ficciones poéticas o a demonios, pero se dijo que uno, Hermes Trismegisto, había dictado un número variable de libros (42, según Clemente de Alejandría; 20.000, según Jámblico; 36.525, según los sacerdotes de Thoth, que también es Hermes), en cuyas páginas estaban escritas todas las cosas. Fragmentos de esa biblioteca ilusoria, compilados o fraguados desde el siglo lll, forman lo que se llama el Corpus Hermeticum; en alguno de ellos, o en el Asclepio, que también se atribuyó a Trismegisto, el teólogo francés Alain de Lille -Alanus de Insulis- descubrió a fines del siglo Xll esta fórmula, que las edades venideras no olvidarían: "Dios es una esfera inteligible, cuyo centro está en todas partes y su circunferencia en ninguna". Los presocráticos hablaron de una esfera sin fin; Albertelli (como antes, Aristóteles) piensa que hablar así es cometer una contradictio in adjecto, porque sujeto y predicado se anulan; ello bien puede ser verdad, pero la fórmula de los libros herméticos nos deja, casi, intuir esa esfera. En el siglo Xlll, la imagen reapareció en el simbólico Roman de la Rose, que la da como de Platón, y en la enciclopedia Speculum Triplex; en el XVl, el último capítulo del último libro de Pantagruel se refirió a "esa esfera intelectual, cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna, que llamamos Dios". Para la mente medieval, el sentido era claro: Dios está en cada una de sus criaturas, pero ninguna Lo limita. "El cielo, el cielo de los cielos, no te contiene", dijo Salomón (1 Reyes, 8, 27); la metáfora geométrica de la esfera hubo de parecer una glosa de esas palabras.

El poema de Dante ha preservado la astronomía ptolemaica, que durante mil cuatrocientos años rigió la imaginación de los hombres. La tierra ocupa el centro del universo. Es una esfera inmóvil; en torno giran nueve esferas concéntricas. Las siete primeras son los cielos planetarios (cielos de la Luna, de Mercurio, de Venus, del Sol, de Marte, de Júpiter, de Saturno); la octava, el cielo de las estrellas fijas; la novena, el cielo cristalino llamado también Primer Móvil. A éste lo rodea el Empíreo, que está hecho de luz. .Todo este laborioso aparato de esferas huecas, trasparentes y giratorias (algún sistema requería cincuenta y cinco), había llegado a ser una necesidad mental; De hipothesibus motuum coelestium commentariolus es el tímido título que Copérnico, negador de Aristóteles, puso al manuscrito que trasformó nuestra visión del cosmos. Para un hombre, para Giordano Bruno, la rotura de las bóvedas estelares fue una liberación. Proclamó, en la Cena de las cenizas, que el mundo es efecto infinito de una causa infinita y que la divinidad está cerca, "pues está dentro de nosotros más aun de lo que nosotros mismos estamos dentro de nosotros". Buscó palabras para declarar a los hombres el espacio copernicano y en una página famosa estampó: "Podemos afirmar con certidumbre que el universo es todo centro, o que el centro del universo está en todas partes y la circunferencia" (De la causa, principio de uno, V).

Esto se escribió con exultación, en 1584, todavía en la luz del Renacimiento; setenta años después, no quedaba un reflejo de ese fervor y los hombres se sintieron perdidos en el tiempo y en el espacio. En el tiempo, porque si el futuro y el pasado son infinitos, no habrá realmente un cuándo; en el espacio, porque si todo ser equidista de lo infinito y de lo infinitesimal, tampoco habrá un dónde. Nadie está en algún día, en algún lugar; nadie sabe el tamaño de su cara. En el Renacimiento, la humanidad creyó haber alcanzado la edad viril, y así lo declaró por boca de Bruno, de Campanella y de Bacon. En el siglo XVII la acobardó una sensación de vejez; para justificarse, exhumó la creencia de una lenta y fatal degeneración de todas las criaturas, por obra del pecado de Adán. (En el quinto capítulo del Génesis consta que "todos los días de Matusalén fueron novecientos setenta y nueve años"; en el sexto, que "había gigantes en la tierra en aquellos días".) El primer aniversario de la elegía Anatomy of the World, de John Donne, lamentó la vida brevísima y la estatura mínima de los hombres contemporáneos, que son como las hadas y los pigmeos; Milton, según la biografía de Johnson, temió que ya fuera imposible en la tierra el género épico; Glanvill juzgó que Adán, "medalla de Dios", gozó de una visión telescópica y microscópica; Robert South famosamente escribió:

"Un Aristóteles no fue sino los escombros de Adán, y Atenas, los rudimentos del Paraíso". En aquel siglo desanimado, el espacio absoluto que inspiró los hexámetros de Lucrecio, el espacio absoluto que había sido una liberación para Bruno, fue un laberinto y un abismo para Pascal. Éste aborrecía el universo y hubiera querido adorar a Dios, pero Dios, para él, era menos real que el aborrecido universo. Deploró que no hablara el firmamento, comparó nuestra vida con la de náufragos en una isla desierta. Sintió el peso incesante del mundo físico, sintió vértigo, miedo y soledad, y los puso en otras palabras: "La naturaleza es una esfera infinita, cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna." Así publica Brunschvicg el texto, pero la edición crítica de Tourneur (París, 1941), que reproduce las tachaduras y vacilaciones del manuscrito, revela que Pascal empezó a escribir effroyable: "Una esfera espantosa, cuyo centre está en todas partes y la circunferencia en ninguna."

Quizá la historia universal es la historia de la diversa entonación de algunas metáforas.

Buenos Aires, 1951.
Fuente: Jorge Luis Borges, Otras inquisiones, en Obras completas, Vll, Buenos Aires, Ed. Emecé, pp. 14-16.

Fernando Pessoa y la identidad

Fragmento de Lisbon Revisited (1926)

Otra vez vuelvo a verte,
ciudad de mi infancia pavorosamente perdida...
Ciudad triste y alegre, otra vez sueño aquí...
¿Yo? Pero, ¿soy yo el mismo que aquí viví, y aquí volví,
y aquí volví a volver y volver,
y aquí de nuevo he vuelto a volver?
¿O todos los Yo que aquí estuve o estuvieron somos
una serie de cuentas-entes ensartadas en un hilo-memoria,
una serie de sueños de mí por alguien que está fuera de mí?

Para leer este poema completo y otros poemas de Álvaro de Campos, en especial: Por la carretera de Sintra, y Estanco (Tabaquería) pueden entrar aquí.

Representar, abstraer, simplificar

"Tanto el arte como las matemáticas siempre me han parecido dos formas de ver el mundo que nos rodea. (...) Las matemáticas se han construido a través de inquietudes, son algo más sólido que el arte, tiene ciertas reglas fijas. El arte es más un punto de vista del artista, en las matemáticas hay cosas que son así porque ya están demostradas y se sabe que "uno más uno es dos". Tanto artistas como matemáticos quieren resolver interrogantes de temas iguales ya sean cosas más físicas como una línea o preguntas más complejas como la idea de infinito; la diferencia estaría cómo llegan o se acercan a esas inquietudes. Hay ciertos puntos de unión entre los dos como las ideas de representar, abstraer, geometrizar, simplificar, que son necesarias para el desarrollo de las dos."

Diana Camacho

Caos y orden

"He llegado a creer una de las teorías, si es que así se pueden llamar: todo es caos: caos no concebido como un desorden indeseable. El caos como la 'materia e idea prima' de la cual todo toma lugar y toma foma. De esa gran bolsa podemos sacar todo lo existente y las ideas que nos permiten crear lo inimaginado. Es así como tanto el orden como el desorden es tamizado por arte y matemática a su manera pero fundamentalmente igual. Tanto el arte como las matemáticas general códigos con el fin de primero entender el mundo y ordenar el caos primario. (...) Quizás comparten, tanto arte como matemáticas, la misma curiosidad por hacer caber lo incontenible o entender lo incomprensible."
Camila Salame

¿Cómo contar los libros de la biblioteca?

La rama de la matemática que se encarga de encontrar la forma de contar se llama combinatoria. Una pequeña historia del concepto aparece aquí. Las herramientas básicas para contar los libros de la biblioteca de Babel están en esta página, donde también pueden encotrar muy bien explicadas otras técnicas para conteos sencillos (una versión más corta en inglés es ésta). Acuérdense para el viernes de que cada uno debe intentar contar el número de libros de la biblioteca, estos están contados en algunas páginas del internet, pero el chiste es que cada uno haga el ejercicio. También es bueno intentar imaginar cuántas cifras tiene el número total de libros de la biblioteca.

Nota. Wikipedia es muy buena en recursos de matemáticas porque justamente una de las bases de datos con las que comenzaron fue una enciclopedia web de matemáticas muy especializada. En español wikipedia es tristemente pobre (ustedes deberían comenzar a colaborar), pero me encontré con la sorpresa de que la definición de combinatoria es muy detallada y aparece incluso uno de los personajes más importantes de esa rama en el siglo XX: Gian Carlo Rota. Su filosofía de la matemática es la más interesante que yo he encontrado hasta ahora y les recomiendo mucho leer su texto sobre la belleza matemática. Un alumno de un alumno suyo, Federico Ardila, es uno de los mejores matemáticos que conozco, además porque sabe hacer explicar muy bien para todo tipo de públicos su tema de trabajo. Miren aquí su conferencia sobre un tema que ya mencionamos un día en clase: las teselaciones (divisiones del plano). Sirve para que se hagan una idea del amplio mundo de la combinatoria.

La imagen de arriba es de Vasarely y hace parte de un trabajo suyo con premutaciones.

Otros links interesantes:
Permutaciones en biología.
Arte y biología.
Simetrías.

Si encuentran más cosas interesantes por favor pónganlas en los comentarios.

La biblioteca de Babel

El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales, con vastos pozos de ventilación en el medio, cercados por barandas bajísimas. Desde cualquier hexágono se ven los pisos inferiores y superiores: interminablemente. (continúa)



¿Cuántos libros tiene? ¿Es infinita la biblioteca? La tarea es responder estas preguntas y a la vez dibujar un mapa de la biblioteca.